WWW.NEW.PDFM.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Собрание документов
 


«ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА, И БИСПИНОРЫ ДИРАКА Москва 2012 Е.П.Орлов КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, АБЕРРАЦИЯ СВЕТА, ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА, И БИСПИНОРЫ ДИРАКА АННОТАЦИЯ На основе представления о евклидовом ...»

ПРЕПРИНТ Е. П. ОРЛОВ

10 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, АБЕРРАЦИЯ СВЕТА,

ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА, И БИСПИНОРЫ ДИРАКА

Москва 2012

Е.П.Орлов

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, АБЕРРАЦИЯ СВЕТА,

ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА, И БИСПИНОРЫ ДИРАКА

АННОТАЦИЯ

На основе представления о евклидовом пространстве событий с косоугольными системами координат, одна из которых жёстко связана с неподвижным наблюдателем, а другая – с источником излучения, показана связь таких понятий как конические сечения, аберрация света, эффект Доплера и спиновые состояния частицы. Дана наглядная геометрическая интерпретация аберрации света и эффекта Доплера как конических сечений светового конуса построенного в данном пространстве событий. Показано, что формулы, описывающие эти эффекты, могут быть выражены через компоненты биспинора Дирака, описывающего спиновые состояния свободной частицы с импульсом, направленным по линии, соединяющей неподвижного наблюдателя с движущимся источником излучения .

E.P.Orlov

CONIC SECTIONS, LIGHT ABERRATION,

DOPPLER EFFECT, AND DIRAC BISPINORS

ABSTRACT The interrelation of such concepts as conic sections, light aberration, Doppler effect, and spin states of the particles is shown by using the concept of the Euclidian space of events with non-orthogonal reference systems .
One of them is rigidly tied with an immovable observer, and the other one, with a moving source of the radiation. The light aberration and the Doppler effect are represented geometrically in the form of a conic section of a light cone built in the present space of events. It is shown that the formulas describing these effects can be expressed by the components of the Dirac bispinors describing the spin states of a free moving particle with a pulse directed along the line connecting the immovable observer and the moving source of the radiation .

1. Введение Такие понятия, как конические сечения [1], аберрация света [2], эффект Доплера [2] и биспиноры Дирака [3, 4] широко используются в научных исследованиях, а результаты этих исследований - на практике, см., например, [5 – 10] .

Некоторые из перечисленных понятий, как конические сечения, известны с древних времён [11]. Другие, как аберрация света и эффект Доплера известны с 1727 года и с 1842 года. Биспиноры же Дирака были открыты Дираком в 1928 году .

Не говоря уже о конических сечениях, данные понятия тщательно проанализированы в многочисленных работах, которые нет смысла перечислять в данной работе. Однако необходимо отметить, что среди этих работ имеется немало таких, в которых анализ аберрации света и эффекта Доплера с релятивистских позиций подвергается критике. Одной из причин, возбуждающих критику, является неприятие второго постулата теории относительности, или другими словами, псевдоевклидовости пространства-времени Минковского [2], в котором невозможно строить привычные геометрические образы, такие, какие имеют место при построениях в евклидовом пространстве. Поэтому возникла потребность найти подход, который бы при анализе указанных явлений, а равно и при использовании их в практической деятельности, давал бы наглядный геометрический образ явления, позволяющий визуально оценивать все его особенности в конкретных ситуациях, а также позволяющий в принципе находить его характеристики, используя лишь циркуль и линейку. Кроме того всегда представляет научный интерес установление связи между понятиями, которые на первый взгляд кажутся не связанными друг с другом .





В настоящей работе наглядный геометрический образ аберрации света и эффекта Доплера как конических сечений и их связь с биспинорами Дирака удалось найти, используя представление о евклидовом пространстве событий с косоугольными системами координат [12, 13]. Одна из этих систем жёстко связана с неподвижным наблюдателем, а другая – с источником излучения. Представление о таком пространстве возникает из анализа распространения в неограниченном плоскопараллельном резонаторе волн, образующих моды этого резонатора с фиксированным продольным индексом и переменным поперечным индексом, который при неограниченности резонатора является непрерывным .

В работах [12, 13] было показано, что свойства пространственновременного многообразия Минковского могут быть выведены из законов распространения волн в таком резонаторе в предположении, что коэффициенты отражения от зеркал резонатора прямой и обратной волн, образующих различные поперечные моды с одинаковым продольным индексом, не зависит от угла падения волн на зеркала резонатора. Мода, волны которой распространяются перпендикулярно зеркалам резонатора, то есть вдоль его оси, рассматривается как покоящаяся. Если волны моды распространяются под углом к оси резонатора, то, такая мода рассматривается как движущаяся со скоростью V c sin, где

- угол между волновым вектором прямой волны и осью, c - скорость распространения волн в резонаторе .

С помощью отображения прямых и обратных волн мод резонатора на всё пространство справа и слева от резонатора в [12, 13] введено понятие евклидова пространства событий с косоугольными системами координат. Его введение основывается на том, что разные поперечные моды с одинаковым продольным индексом уменьшают свою амплитуду в одно и то же число раз при одинаковом числе отражений образующих их волн от зеркал резонатора. При этом волны образующие разные поперечные моды проходят пути разной длины до точки рассматриваемого пространства, где их ослабление достигает заданной величины. Это позволяет ввести временные координаты этой точки через соответствующие длины этих путей. В случае, когда пространство внутри резонатора однородно, изотропно и нет дисперсии скоростей волн, для невзаимодействующих друг с другом мод оси, отвечающие этим координатам, представляют собой прямые линии перпендикулярные плоским фазовым поверхностям волн. Для каждой пары мод эти оси лежат в плоскости волновых векторов волн этих мод .

Пространственные координаты определяются как проекции точки рассматриваемого пространства на фазовые поверхности либо прямых волн покоящейся и движущейся мод, либо на фазовые поверхности обратных волн .

Если масштаб структуры поля в поперечном направлении много больше расстояния между зеркалами резонатора, то пространство внутри резонатора может рассматриваться как двухмерное пространство с дополнительным компактным третьим измерением .

Отсюда по аналогии можно распространить описываемый подход на трёхмерное пространство, к которому мы все привыкли, с одной оговоркой, что имеется дополнительное компактное измерение, о котором, по-видимому, впервые заговорили Калуца [14] и Клейн [15]. В последствии эта идея использовалась во многих работах, см., например, [16 - 18]. В настоящее время идея дополнительных пространственных измерений интенсивно обсуждается в связи с разработкой теории струн [19] и космологии мира на бране [20] .

В [12, 13] частицы в таком пространстве ассоциируются с модами резонатора с фиксированным продольным индексом. При таком подходе для формирования понятий и выводов теории относительности нет необходимости использовать второй постулат А.Эйнштейна, либо принимать гипотезу о псевдоевклидовости пространства-времени. В предположении однородности и изотропности пространства внутри резонатора и отсутствии дисперсии скорости, распространяющихся в нём волн, этот постулат и гипотеза о псевдоевклидовости являются следствием резонансного условия для волн, образующих моды резонатора .

Также как и в плоскопараллельном резонаторе, анализ распространения волн в таком гипотетическом резонаторе приводит к понятию 4-мерного, евклидова пространства событий с косоугольными системами координат. Рассмотрение физических процессов в таком пространстве может быть проведено на языке геометрических образов свободных от той иррациональности, которая присуща геометрическим образам пространства-времени Минковского. При этом нет необходимости воображать себе 4-мерное пространство. Для вывода и осознания, например, кинематических эффектов специальной теории относительности, а также спиновых состояний частиц в квантовой механике достаточно рассматривать распространение волн, образующих моды обычного плоскопараллельного 3-мерного резонатора, или, другими словами, рассматривать процессы и сопутствующие им события в 3-мерном евклидовом пространстве событий с косоугольными системами координат. В результате рассмотрение оказывается весьма наглядным и понятным. В этом можно убедиться, посмотрев работы [21 – 24], в которых с помощью векторов упомянутого пространства событий дана геометрическая интерпретация, как кинематических эффектов специальной теории относительности, так и решений релятивистского уравнения Дирака для свободной частицы, записанных в различных представлениях .

Как уже упоминалось выше, настоящая работа посвящена рассмотрению аберрации света и релятивистского эффекта Доплера с помощью геометрических образов данного пространства событий, а также выяснению связи формул, описывающих эти явления, с биспинорами Дирака .

2. Основные понятия Как показано в работах [12, 13] множество точек, образованное изображениями точек пространства внутри резонатора при их многократных отражениях в его зеркалах представляет собой пространство событий. В отличие от псевдоевклидова пространства Минковского данное пространство событий является евклидовым. В этом пространстве движущиеся друг относительно друга моды изображаются плоскими волнами, волновые вектора которых повернуты друг относительно друга. На рис.1,a схематично изображены фазовые поверхности двух таких волн. Одну из волн (с горизонтальной нормалью) условимся относить к покоящейся моде, а другую, повёрнутую на угол – к движущейся моде .

Точку, лежащую на пересечении двух фазовых поверхностей этих волн, выберем за начало отсчёта O. Координатные оси l и z расположим в плоскости, параллельной плоскости, в которой лежат волновые вектора этих волн .

Рис.1. Изображения в евклидовом пространстве событий фазовых поверхностей волн, отвечающих покоящейся моде с отличным от нуля продольным индексом (с горизонтальной нормалью) и движущейся моде с тем же значением продольного индекса a); сфера, изображающая распространение в евклидовом пространстве событий света, представляющего собой моду с нулевым продольным индексом, излучаемого источником, расположенным в точке E S с координатами l S, x, z ( l S, x S, z S ) b) .

SS Как упоминалось выше, величина угла удовлетворяет соотношению sin V / c, где V - скорость относительного движения мод. Скорость распространения волн в резонаторе c в данной работе будем полагать равной скорости света в вакууме .

В [12, 13] показано, что исходя из времен жизни движущейся и покоящейся мод, можно ввести временную координату любой точки рассматриваемого пространства, как с точки зрения наблюдателя, связанного с покоящейся модой, так и с точки зрения наблюдателя, связанного с движущейся модой. Следовательно, данное пространство может рассматриваться как пространство событий .

Временная координата некоторой точки E пространства событий с точки зрения неподвижного наблюдателя определяется длиной пути l E ct E, который проходит между точками O и E волна, отвечающая движущейся моде. И, наоборот, временная координата этой же точки с точки зрения движущегося наблюдателя определяется длиной пути l E ct, который проходит между точками O и E E волна, отвечающая неподвижной моде. Пространственные координаты точки E с точки зрения неподвижного (движущегося) наблюдателя определяются при этом как ортогональные проекции этой точки на плоскость волнового фронта волны, отвечающей неподвижной (движущейся) моде .

Это приводит к тому, что с движущимися друг относительно друга модами связываются косоугольные системы координат. С неподвижной модой связывается система отсчёта Ozl, а с движущейся модой – система Ozl. С учётом координат x и x ( x x ), перпендикулярных плоскости, в которой лежат волновые вектора волн, с указанными модами связываются, соответственно, системы Oxzl и Oxz l. Им отвечают инерциальная система отсчёта Oxz и система O xz, которая движется относительно системы Oxz с постоянной скоростью V Oz .

Построенные указанным способом косоугольные системы координат принципиально отличаются от используемых в литературе косоугольных систем координат [25 – 30] тем, что времення и пространственные оси не только системы координат, связанной с движущимся наблюдателем, но и системы координат, связанной с неподвижным наблюдателем, расположены под углом друг к другу .

В [12, 13, 18, 21] показано также, что свет представляет собой моду резонатора с нулевым значением продольного индекса и длина волны волн, образующих эту моду, равна бесконечности. Иными словами комптоновское волновое число равно нулю. Дифракционное расплывание волны с нулевым волновым числом, превращает возмущение в ограниченной области пространства в сферическую волну. Поэтому распространение импульса света, излучённого в некоторый момент времени в некоторой точке 3-мерного пространства, должно изображаться в 4-евклидовом пространстве событий 3-мерными сферами. Для плоскопараллельного резонатора аналогичный процесс в 3-мерном евклидовом пространстве изобразится обычными двумерными сферами рис.1,b. Радиус каждой такой сферы как в штрихованной, так и в не штрихованной системе координат пропорционален промежутку времени, прошедшему с момента излучения света. Коэффициентом пропорциональности является скорость света .

Обозначим событие, состоящее в излучении импульса света из точки S с координатами x, z ( x S, z S ) в момент времени l S ct S ( l S ct S ) как E S, S S рис.1,b. Рассмотрим сначала плоскость параллельную плоскости l, z ( l, z ) и проходящую через точку E S. Распространение света в этой плоскости из точки E S к моменту времени l ct изобразится в пространстве событий окружностью радиуса l l S ct t S, рис.2. Видно, что распространение света до точек, лежащих на одинаковом расстоянии от начала отсчёта O в обеих системах координат соответствуют двум разным событиям: E1 в системе Oxz и E 2 в системе Oxz. При этом временной промежуток между событиями E S, E1 равный l1 l S c(t1 t S ) и E S, E 2 равный l 2 l S ct 2 t S также одинаков, то есть скорость света в обеих системах одинакова .

Если мы за исходные берём штрихованные координаты, то это означает, что источник света жёстко связываем с движущейся системой координат. Проецируя точку E1 на координатные оси l, z, получаем координаты события E1 в системе координат, жёстко связанной с неподвижным наблюдателем .

Если же за исходные берутся не штрихованные координаты, то это означает, что источник света жёстко связываем с неподвижным наблюдателем. Тогда, проецируя точку E 2 на координатные оси l, z, получаем координаты события E 2 в движущейся системе координат. Далее откажемся от ограничения, заключающегося в том, что рассматриваются только события в указанной выше плоскости .

Рис.2. Изображение распространения света в евклидовом пространстве событий в сечении плоскостью параллельной плоскости l, z ( l, z ), и проходящей через точку, в которой расположен источник .

Итак, пусть источник света движется со скоростью V вдоль оси z системы координат x, z, жёстко связанной с неподвижным наблюдателем. С источником света жёстко свяжем систему координат x, z, и её начало совместим с источником света. В этой системе отсчёта возьмём некоторую точку A с координатами xA, zA, рис.3 и зафиксируем событие, состоящее в том, что свет дошёл до этой точки .

Точка B евклидова пространства событий отвечает временной координате этого события, t l / c. Точка евклидова пространства событий E, соответстA A вующая указанному событию, может быть найдена следующим образом. Проводим через точку A прямую касательную к сфере и перпендикулярную осям z и x, то есть перпендикулярную плоскости z’x’. Эта касательная будет параллельна оси l. Затем в точке B строим касательную плоскость перпендикулярную оси l’. Точка пересечения E касательной прямой и касательной плоскости отвечает указанному событию, то есть тому, что в системе координат, связанной с источником (в штрихованной системе координат) свет дошёл до точки A. Ортогональные проекции радиус вектора точки E на оси x, z представляют собой пространственные координаты события E, а на ось l – его временную координату в системе отсчёта жёстко связанной с источником света. Ортогональные проекции радиус вектора точки E на оси l, x, z представляют собой временную и пространственные координаты события E в системе отсчёта жёстко связанной с неподвижным наблюдателем. Радиус-вектор события E будем обозначать, как R и называть его евклидовым вектором события .

Рис.3. Определение в евклидовом пространстве событий местоположения события, состоящего в том, что свет в штрихованной системе координат, излучённый из начала координат в нулевой момент времени достиг точки с координатами x, z a); ковариантные координаты AA этого события, определённые как в штрихованной, так и не штрихованной системах координат ( x E x A, x x, z z ) b). Ось проведена из начала координат через точку A, E A E A ось проведена из начала координат параллельно линии BE. Отметим, что, как будет показано ниже, угол между осями и равен углу .

–  –  –

Рис.4. Построение в евклидовом пространстве событий светового конуса в системе, связанной с неподвижным наблюдателем. Источник света покоится в системе координат, движущейся вдоль положительного направления оси z .

Напишем сначала уравнение эллипса в декартовой системе координат x, z .

Для этого достаточно найти малую и большую полуоси эллипса. Большая полуось эллипса a лежит на оси z и может быть вычислена по формуле

–  –  –

4. Конические сечения и эффект Доплера В работе [13] было показано, что проекции волновых векторов волн на оси евклидова пространства событий подчиняются тем же законам преобразования, а именно, преобразованиям Лоренца, что и проекции радиус-векторов точек этого пространства. С одной стороны это связано с тем, что в выражение для волновой функции входит множитель exp i (k l l kr), который симметричен относительно волновых и пространственных векторов рассматриваемого пространства .

С другой стороны, если смотреть на вещи с более общей точки зрения, эта симметрия, по-видимому, является проявлением, так называемой, зеркальной симметрии, обнаруженной при исследовании многообразий Калаби-Яу [20], и заключающейся в том, что можно перевернуть радиус цилиндра, сферы или пространства, не изменив при этом их физические характеристики. На предыдущих рисунках это равноценно замене: l k l, x k x, z k z, l kl, x k x, z k z. После такой замены рис.5,a будет выглядеть так, как показано на рис.6 .

Вектор K будем называть евклидовым волновым вектором .

Рис.6. Графическое определение величины и ориентации волнового вектора и частоты излучения в неподвижной системе координат по заданным значениям, в штрихованной системе координат, либо по частоте, заданной в штрихованной системе координат и ориентации волнового вектора, заданной в неподвижной системе координат .

–  –  –

На этом в данной работе мы закончим выяснение связи между эффектом Доплера, а также аберрацией света и биспинорами Дирака, несмотря на то, что остаются не освещёнными вопросы, касающиеся рассматриваемой связи в случае, когда спиральность 1 / 2, а также в случае отрицательных решений уравнения Дирака .

6. Заключение Исследование, проведённое в данной работе, показало тесную связь таких понятий как конические сечения, аберрация света, эффект Доплера и спиновые состояния частицы. Эту связь удалось найти, используя представление о евклидовом пространстве событий с косоугольными системами координат, одна из которых жёстко связана с неподвижным наблюдателем, а другая – с источником излучения .

Показано, что ось светового конуса в этом пространстве направлена вдоль биссектрисы угла между осями времени неподвижной и движущейся систем координат. Показано также, что геометрическое место точек, образованное сечением светового конуса плоскостью, перпендикулярной оси времени движущейся системы координат представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси времени неподвижной системы координат, а один из фокусов – на оси времени движущейся системы координат. Направление и величина радиус-вектора, проведённого из этого фокуса до эллипса определяют аберрацию света и эффект Доплера .

Обнаружена тесная связь между аберрацией света, эффектом Доплера и спиновыми состояниями частицы с импульсом, направленным по линии наблюдения данных эффектов неподвижным наблюдателем. А именно, показано, что формулы, описывающие аберрацию света и эффект Доплера можно выразить через компоненты биспиноров Дирака, записанных как в стандартном, так и в спинорном представлениях .

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров П.С., Лекции по аналитической геометрии, М.: Наука, 1968 г. 912 с .

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля (Серия: «Теоретическая физика», том II). М.: Физматлит. 1988. С.29, 158 .

3. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Физматгиз, 1963 г. С. 293 .

4. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика (Серия: «Теоретическая физика», том IV). М.: Физматлит. 2001 .

С.103, 123 .

5. Загребин Д. В., Введение в астрометрию. М.: Наука, 1966. 280 с .

6. Phipps T. Relativity and Aberration. Amer.J.Phys. 1989, V. 57, P, 549-551 .

7. Бартон Д. и Вард Г. Справочник по радиолокационным измерениям. Пер. с англ. под ред. М. М. Вейсбенна — М.: Сов. радио, 1976 .

8. Гришин Ю. П., Ипатов В. П., Казаринов Ю. М. Радиотехнические системы. М.: Высшая школа, 1990. 250 с .

9. Давыдов П. С., Сосновский А. А., Хаймович И. А. Авиационная радиолокация: Справочник. М.; Транспорт, 1984. 223 с .

10. Ю.Ф.Кутаев, С.К.Манкевич, О.Ю.Носач, Е.П.Орлов. Способ лазерной космической связи и комплекс для его осуществления. Патент № 2380834 РФ от 23.06.2008 г. Изобретения, 2010. №3 .

11. Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. Пер. с голл. И.Н.Веселовского. М.: ГИФМЛ .

1959. 460 с .

12. Орлов Е.П. Пространственно-временные отношения между модами резонатора с параллельными плоскими зеркалами. Препринт ФИАН № 16 .

Москва, 2004. 17 с .

13. Орлов Е.П. Описание пространственно-временных отношений между модами плоскопараллельного резонатора с помощью косоугольных систем координат. Препринт ФИАН № 16. Москва, 2009. 32 с .

14. Kaluza Th. Zum Unitatsproblem der Physik. Sitzungsberichte d .

Preuss.Akad.Wiss.Berlin (Math.Phys.). 1921, S.966-972 .

15. Klein O. Quantentheorie und fnfdimensionale Relativittstheorie (Quantum Theory and fivedimensional General Relativity). Zs. f. Phys. 1926. V. 37. P.895Соколов А., Иваненко Д. Квантовая теория поля (избранные вопросы) .

Москва, Ленинград. Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1952. С.618-626 .

17. Румер Ю.Б. Исследования по 5-оптике. Москва. Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1956. 152 с .

18. Бергман П. Единые теории поля. УФН. Сентябрь 1980. Т. 132, № 1, С. 177Яу Ш, Надис С. Теория струн и скрытые измерения Вселенной. // Пер.с англ. А.Мороз, И.Рузмайкина, В.Семинько. СПб.: Питер, 2012. 400 с .

20. Рубаков В.А. Большие и бесконечные дополнительные измерения. УФН, 2001, Т. 171, № 9, С. 913 – 938 .

21. Манкевич С.К., Орлов Е.П. Теория относительности и метод лазерной локации. Препринт ФИАН № 7. Москва, 2010. 43 с .

22. Орлов Е.П. О решениях уравнения Дирака для свободной частицы в косоугольных системах координат евклидова пространства событий .

Препринт ФИАН № 1. Москва, 2011. 31 с .

23. Орлов Е.П. Представление Фолди-Вутхайзена в евклидовом пространстве событий с косоугольными системами координат. Препринт ФИАН № 15 .

Москва, 2011. 18 с .

24. Орлов Е.П. О представлении Майораны с точки зрения евклидова пространства событий с косоугольными системами координат. Препринт ФИАН № 40. Москва, 2011. 25 с .

25. Фейнман Р. КЭД странная теория света и вещества. Серия «Библиотечка «Квант», выпуск 66. Перевод с англ. О.Л.Тиходеевой, С.Г.Тиходеева. Под ред. чл.-корр. АН СССР Л.Б.Окуня. Москва: «Наука», 1988. С. 88 .

26. Луи де Бройль. Избранные научные труды. Том 1. Становление квантовой физики. Работы 1921 – 1934 годов. Москва: «Логос», 2010. С. 265 .

27. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып .

2. Под ред. Гессен Л.В. Москва: "Мир", 1965. С.42 .

28. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып .

8. Под ред. Гессен Л.В. Москва: "Мир", 1965. С.111 .

29. Либшер Д.-Э. Теория относительности с циркулем и линейкой. Под. ред .

Н.В.Мицкевича. Перевод В.Е.Маркевич. Москва: «Мир», 1980. 152 с .

30. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. Москва: Редакция журнала «Успехи физических наук», 1999. С. 296 .

31. http://ru.wikipedia.org/wiki/Коническое_сечение

32. http://wmda.mobi/ru/Эллипс Подписано в печать 15.54.2012 г .

Формат 60х84/16. Заказ №34. Тираж 140 экз. П.л 2,25 .

Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика



Похожие работы:

«Содержание Введение Основные элементы АУП ТРВ ВД "АЛЬФА-ФОГ" 1.1 Агрегат насосный 1.2 Прибор пожарный управления 1.3 Компонент для прибора пожарного управления 1.4 Распылители 1.5 Узлы управления Область применения АУП ТРВ ВД "АЛЬФА-ФОГ" 2.1...»

«Инструкция для lg p500 25-03-2016 1 Таксономисты это, наверное, пилотские шиканья непрошибаемой неотлаженности, при условии, что приблатненная железы немигающе отмечавшей сферы не устанавливается. Интервью отстало отрезвляет, но случается, чт...»

«ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" (СПбГУ) Институт философии Зав. кафедрой Председатель ГЭК, конфликтологии _А.И. Стребков _ Выпускная квалификационная работа на тему: ГЕО...»

«ОРГАНИЗАЦИЯ CAT ОБЪЕДИНЕННЫХ НАЦИЙ Конвенция против пыток Distr. RESTRICTED* и других жестоких, бесчеловечных или унижающих достоинство видов CAT/C/33/D/133/1999 17 December 2004 обращения и наказания RUSSIAN Original: SPANI...»

«Измерение скорости света с помощью лазерного дальномера Цель работы: научиться измерять скорость света по времени прохождения лазерного импульса, определить показатели преломления некоторых сред.Решаемые задачи: освоить метод определения скорости света с...»

«ИНСТИТУТ СТРАН СНГ ИНСТИТУТ ДИАСПОРЫ И ИНТЕГРАЦИИ СТРАНЫ СНГ Русские и русскоязычные в новом зарубежье ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ № 1.02.2002 Москва ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ БЮЛЛЕТЕНЬ "СТРАНЫ СНГ. РУ...»

«632 27. HYMENOPTERA ср. бедра затемненные. Задн. голени преимущественно коричнево-рыжие. 9.5. – Хаб............ .................................................. M. ussuriensis Kasp.– Щеки и яйцк. длиннее...»







 
2018 www.new.pdfm.ru - «Бесплатная электронная библиотека - собрание документов»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.