WWW.NEW.PDFM.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Собрание документов
 

«ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ для студентов социально-гуманитарных специальностей А. А. Макаров, А. В. Пашкевич Задачник по теории вероятностей для студентов социально-гуманитарных специальностей ...»

А. А. Макаров, А. В. Пашкевич

ЗАДАЧНИК

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

для студентов социально-гуманитарных

специальностей

А. А. Макаров, А. В. Пашкевич

Задачник

по теории вероятностей

для студентов социально-гуманитарных

специальностей

Электронное издание

Москва

Издательство МЦНМО

УДК .

ББК .

M

Макаров А. А., Пашкевич А. В .

Задачник по теории вероятностей для студентов

социально-гуманитарных специальностей

Электронное издание М.: МЦНМО, с .

ISBN -- - В книге содержится большое количество задач, ориентированных на практику, образцы домашних, контрольных и экзаменационных работ. Ко всем задачам даны ответы, а некоторые задания снабжены подробным решением и комментариями. Приведены справочные сведения об основных теоретических понятиях. Учебный материал изложен просто, интересно и эффективно для усвоения .

Учебное пособие рассчитано в первую очередь на студентов высших учебных заведений, обучающихся по социальным и другим нематематическим специальностям вузов, а также на преподавателей вузов и школьных учителей, интересующихся использованием вероятностных методов на практике .

Книга полностью удовлетворяет образовательным стандартам по математике, включая федеральный государственный образовательный стандарт нового поколения .

Подготовлено на основе книги:

Макаров А. А., Пашкевич А. В. Задачник по теории вероятностей для студентов социально-гуманитарных специальностей. – М.: МЦНМО,



–.–– с. – ISBN

– -- - Издательство Московского центра непрерывного математического образования, Москва, Большой Власьевский пер.,, тел. ( ) –– .

http://www.mccme.ru © Макаров А. А., Пашкевич А. В., .

ISBN -- - - © МЦНМО, .

Содержание Предисловие...................................... 4 Благодарности..................................... 7 Раздел. Элементы комбинаторики. Основные правила......... 9 Раздел. Случайное событие. Вероятностное пространство. Классическое определение вероятности.......................... 14 Раздел. Операции с событиями. Формула сложения вероятностей .

Независимые события. Условная вероятность................ 25 Раздел. Формула полной вероятности. Формула Байеса......... 37 Раздел. Испытания Бернулли. Биномиальное распределение..... 53 Раздел. Дискретная случайная величина и её числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия. Независимые случайные величины........................................ 61 Раздел. Распределение Пуассона........................ 75 Раздел. Совместное распределение двух дискретных величин. Ковариация и корреляция двух случайных величин................ 79 Раздел. Непрерывные случайные величины. Равномерное распределение. Нормальное распределение........................ 91 Раздел. Случайная социологическая выборка и её погрешность .

Теорема Муавра––Лапласа............................. 109

–  –  –

В настоящем издании собраны задачи по теории вероятностей, которые авторы использовали в течение многих лет на семинарах, контрольных работах и экзаменах при проведении курса теории вероятностей в бакалавриате ряда факультетов социально-экономического, гуманитарного и управленческого профиля Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»

и Московской школы экономики МГУ им. М. В. Ломоносова .

Преподавание теории вероятностей студентам перечисленных профилей всегда имело свои особенности и заметно отличалось от аналогичных курсов для естественно-научных и технических специальностей. В частности, оно предполагало другой уровень математического формализма при изложении материала, сокращение сложных доказательств и, главное, ориентацию на практические потребности специальности. Отсутствие подобной ориентации часто порождает у студентов-гуманитариев недоумение и отторжение учебного материала, и как следствие, плохое усвоение курса .

Ситуация последнего десятилетия требует дальнейшей корректировки методики преподавания теории вероятностей. Это обусловлено несколькими причинами .

Во-первых, возросло понимание важности и востребованности этой области знаний в подготовке специалистов социально-экономических, управленческих и гуманитарных специальностей. Это связано с заметным расширением доступности больших массивов изменчивой информации на практике и возможностями вычислительной техники по их обработке. На практике растет спрос на вероятностно-статистические модели описания и интерпретации данных .

Во-вторых, базовые понятия теории вероятностей вошли в государственные образовательные стандарты средней и старшей школы. Учащиеся начинают знакомиться с базовыми понятиями статистики и теорией вероятностей с седьмого класса школы. Простейшие задачи по теории вероятностей и статистике включены в государственные аттестации учащихся после и классов. Поэтому меняются акценты в преподавании теории вероятностей в бакалавриате университетов. Необходимо учитывать, что описание простых Предисловие случайных экспериментов с монетой, игральной костью и пр. даны в школе. Приходя в университет, учащиеся вполне понимают, что такое классическое определение вероятности, какие операции можно совершать с событиями и как при этом вычислять вероятность событий. Это не означает, что не стоит кратко повторить такой материал. Однако важно еще показать, как базовые вероятностные понятия используются в реальной практике: при формировании выборочных обследований, интерпретации результатов теста, определении номера партии в избирательном бюллетене, определении размера страховых взносов и т. п. Этих же принципов следует придерживаться в изложении нового материала .

Подбирая задачи для наших курсов, мы учитывали материал школьной программы и, главное, необходимость ориентации на профиль специальности. Поэтому мы включили в сборник преимущественно не формальные, а практико-ориентированные текстовые задачи. Последние в первую очередь требуют умения формализовать содержание, то есть перевести условие в математические понятия, формулы и алгоритмы решения. Материал для подобных задач мы часто заимствуем из реальной жизни, социологических исследований, баз данных и других источников. На наш взгляд, содержание курса теории вероятностей должно давать не только необходимый запас формальных знаний и компетенций, но и обширный обзор того, как эти методы используются на практике .

По своей структуре задачник разбит на разделов. Каждый раздел состоит из трех частей. В первой части дается краткое простое изложение основных теоретических понятий и свойств, сопровождаемое примерами. Эти теоретические части не в коей мере не могут заменить учебники [, ] и лекции и носят лишь справочный характер. Во второй части дается разбор нескольких ключевых задач раздела. Часто эти задачи мы обсуждаем на семинарах. Третья часть –– задачи для самостоятельного решения. Часть подобных задач мы задаем студентам на дом, формируем из них промежуточные микро- и контрольные работы. В конце книги к этим задачам даны ответы, и студенты самостоятельно могут проконтролировать уровень своей компетенции перед контрольными и экзаменами. Тем, кому требуется больший объем простых формальных задач, мы рекомендуем обратиться к школьному учебнику [ ] .

Учитывая, что современный студент должен хорошо представлять, какие требования и в каком объеме будут предъявлены к нему Предисловие на том или ином этапе обучения, мы включили в сборник варианты типовых домашних заданий, микроконтрольных работ, которые регулярно проводятся на семинарах, а также варианты экзаменов по курсу. Опыт нашей работы показывает, что без регулярного контроля усвоения текущего материала надеяться на успешное освоение курса большинством студентов не приходится .

Мы надеемся, что это учебное пособие будет полезно не только студентам, но и многим преподавателям, испытывающим трудности в подборе задач для аналогичных курсов. Книга, несомненно, будет полезна учителям и школьникам, интересующимся, как используются вероятностные понятия и методы в социальных и гуманитарных науках .

Благодарности Выражаем глубокую признательность нашим коллегам-преподавателям, с которыми на протяжении многих лет мы ведем курсы по теории вероятностей, статистике и анализу данных на разных факультетах Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» и в Московской школе экономики МГУ им. М. В. Ломоносова. Совместный опыт работы был очень важен и ценен для нас при подготовке этого учебного пособия .

Многие люди в разное время способствовали нашей работе. Но особую благодарность хотим выразить Юрию Николаевичу Тюрину, Ивану Ростиславовичу Высоцкому, Ивану Валерьевичу Ященко, Денису Константиновичу Стукалу, Галине Ивановне Симоновой, Ирине Михайловне Дружининской, Марии Владимировне Габелко, Татьяне Евгеньевне Хавенсон .

В обсуждении задач этой книги участвовали многие студенты бакалаврской программы «Социология» в Высшей школе экономики. Выражаем большую благодарность всем нашим студентам за инициативу, активный творческий интерес и индивидуальные предложения, интересные идеи по расширению банка задач в ходе выполнения домашних заданий по теории вероятностей .

Невозможно перечислить поименно всех тех, кто на разных стадиях подготовки книги участвовал в её обсуждении, сюжетном наполнении задач, и мы глубоко признательны всем студентам факультета социологии за этот ценный и ощутимый вклад в развитие преподавания теории вероятностей .

Особую благодарность выражаем Константину Борисовичу Короткому, Ольге Сергеевне Спесивцевой, Анне Александровне Марченко, Светлане Николаевне Чернышевой, Ирине Валерьевне Николаевой, которые в гг. в качестве учебных ассистентов по курсу теории вероятностей внесли большой вклад в разработку и усовершенствование задач .

Мы глубоко признательны рецензентам данной книги: Сергею Николаевичу Бычкову –– кандидату физико-математических наук, доктору философских наук, профессору кафедры философии образования Московского института открытого образования, –– и Татьяне Благодарности

–  –  –

Ключевые понятия теории вероятностей –– случайный эксперимент и его возможные исходы. Когда число возможных исходов случайного эксперимента конечно, для их описания или описания какой-то их части полезны правила комбинаторики. Комбинаторика изучает способы перебора, пересчета и упорядочивания предметов.

Для решения задач теории вероятностей обычно используются следующие комбинаторные правила:

• правило умножения;

• правило перестановок;

• правило сочетаний;

• правило размещений .

Правило умножения позволяет найти число упорядоченных пар .

Чтобы найти число всех упорядоченных пар объектов (предметов) двух типов, нужно число объектов первого типа умножить на число объектов второго типа. Другими словами, если на первом месте может находится один из m различных объектов (предметов), а на втором может быть один из k разных объектов, то можно составить m · k различных упорядоченных пар из этих объектов .

Пример (А ). Если на первый вопрос социологической анкеты можно ответить двумя способами, а на второй вопрос –– пятью, то всего существует 2 · 5 = 10 возможных способов заполнить ответы на два вопроса анкеты .

Пример (К ). Если игральную кость (кубик) подбросить дважды, то на первом броске можно получить любую из шести граней игральной кости, и на втором тоже. Значит, согласно правилу умножения, всего можно получить 6 · 6 = 36 вариантов завершения этого случайного эксперимента .

Правило умножения особенно полезно для вычисления общего числа элементарных исходов в независимых, однотипных повторяющихся случайных экспериментах. Если однократный эксперимент Раздел. Элементы комбинаторики. Основные правила может закончиться одним из k элементарных исходов, а проводятся повторно и независимо m подобных экспериментов, то общее число элементарных исходов в этой серии экспериментов равно N = k m .

Правило перестановок позволяет найти число способов упорядочивания n объектов (предметов). Под упорядочиванием понимается нумерация объектов: один из объектов получает первый номер, любой из оставшихся объектов получает второй номер и так далее .

Общую формулу числа перестановок можно получить с помощью правила умножения .

Число перестановок n объектов равно произведению n · (n 1) · (n 2) · …· 3 · 2 · 1 .

Такое произведение натуральных чисел от 1 до n называют факториалом числа n («эн-факториал») и обозначают n! .

Пример (О ). Пять студентов можно поставить в очередь в буфет 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! = 120 различными способами .

Пример (Ф ). Есть 11! способов раздать майки с номерами от 1 до 11 одиннадцати игрокам футбольной команды:

11! = 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 39 916 800 .

Правило сочетаний позволяет узнать, сколькими способами можно выбрать из n объектов k объектов. При этом порядок выбора этих объектов не существенен. Число этих способов называют чисk лом сочетаний из n по k и обозначают Cn. Это правило вытекает из правила умножения и правила перестановок .

Число способов выбрать из n объектов k объектов или, другими словами, число сочетаний из n по k, равно n · (n 1) · (n 2) · … · (n k + 1) .

k!

В числителе этого выражения стоят ровно k сомножителей, каждый из которых показывает, сколькими способами можно выбрать очередной объект из еще не выбранных. Так, первый объект можно выбрать n способами, второй –– (n 1) способами, так как на этом этапе осталось только (n 1) объектов и т. д., пока не доберемся до выбора k-го объекта. В знаменателе число сочетаний стоит выражение k!, которое учитывает, что одни и те же k объектов мы можем выбрать в разном порядке. Всего таких упорядочиваний ровно k! .

Число сочетаний из n по k кратко можно записать в следующем n!

k виде: Cn = .

k! · (n k)!

Раздел. Элементы комбинаторики. Основные правила

–  –  –

Задачи для самостоятельного решения 1.1 (С ). По итогам исследования имеются ответы респондентов на три вопроса .

) Профессия (имеет 11 вариантов ответа в предложенном меню) .

) Уровень среднедушевого дохода в семье относительно существующего прожиточного минимума (имеет 6 вариантов ответа в предложенном меню) .

) Пол (имеет 2 варианта ответа в предложенном меню) .

Сколькими различными способами можно заполнить такую анкету?

1.2 (Т ). Тест знаний включает 10 вопросов, на каждый из которых предложено четыре варианта ответа. На каждый вопрос испытуемый должен выбрать один вариант ответа. Сколькими способами можно ответить на подобный тест?

1.3 (П ). Участнику исследования предлагается оценить 10 продуктов (сортов сыра) по привлекательности по пятибалльной шкале. Сколько различных комбинаций ответов существует при этом?

Раздел. Элементы комбинаторики. Основные правила 1.4 (К ). Экспериментатор бросает монету, а затем игральную кость .

а) Сколько всего исходов в таком эксперименте?

б) Сколько будет исходов, если экспериментатор сначала будет бросать кость, а потом –– монету?

1.5 (С ). Сколькими способами можно перестаК вить слова во фразе «Джим, дай мне лапу»?

1.6 (А ). Во сколько раз число перестановок русских букв превышает число перестановок латинских? (В русском и латинском алфавитах 33 и 26 букв соответственно) .

1.7 (Ф ). Семь подруг обменялись фотографиями с летнего отдыха –– каждая подарила по одной своей фотографии каждой из остальных подруг. Сколько всего фотографий было подарено?

1.8 (С ). На фасаде дома 12 окон. В каждом свет либо есть, либо нет. Сколько всего может быть комбинаций (внешних «образов» такого дома)?

1.9 (С ). В отборе на стажировку в компании участвуют 9 кандидатов с одинаковыми потенциальными возможностями .

Сколькими способами можно распределить пять вакантных должностей между кандидатами?

1.10 (Ц ). В цирке шесть ученых ворон –– одна белая, остальные черные .

а) Сколько существует способов выбрать одну белую ворону и трех черных ворон?

б) Сколько существует способов выбрать четырех черных ворон?

в) Сколько существует способов выбрать четырех ворон?

г) Как связаны ответы к заданиям а), б) и в)?

1.11 (Л ). Есть 20 лампочек –– одна перегоревшая, остальные исправные. Из этих лампочек наудачу выбирают 15 штук .

а) Сколько существует способов выбрать одну неисправную лампочку и 14 исправных?

б) Сколько существует способов выбрать 15 исправных лампочек?

в) Сколько существует способов выбрать 15 лампочек?

1.12 (У ). На улице в ряд стоит семь домов. Хозяева решили покрасить свои дома, каждый дом в один тон. Сколько существует способов раскраски, если в местном магазине продаются краски:

а) 3 цветов; б) 7 цветов; в) n цветов?

1.13 (К ). На детской карусели семь одинаковых лошадок, стоящих по кругу. Сторож весной планирует покрасить этих Раздел. Элементы комбинаторики. Основные правила лошадок так, чтобы не все они были одинаковые. У сторожа есть краски n разных цветов. Сколько существует разных способов покрасить карусель? (Указание: если раскраски совпадают при повороте карусели, они считаются одинаковыми.) n · (n 1) 1.14 (Ч ). а) Докажите, что Cn = .

k nk

б) Докажите, что Cn = Cn .

1.15 (К ). На научной конференции каждый из учёных пожал руки всем остальным. Сколько произошло рукопожатий, если учёных было: а) ; б) ; в) ; г) ; д) n?

1.16 (Т ). Сколько танцевальных пар можно составить из 8 мужчин и 6 женщин, если в паре могут танцевать только лица противоположного пола?

1.17 (П ). В отделе компании работают 8 человек. Сколько существует возможностей распределить между ними: а) 3 одинаковые по величине премии; б) 3 разные по величине премии?

1.18 (ТВ МС). В библиотеке есть 7 учебников по теории вероятностей и 5 учебников по математической статистике. Студентка решила наудачу взять 2 книги по ТВ и 3 книги по МС. Сколькими способами она может это сделать?

1.19 (Р ). В сессию за 12 дней студенты одной группы должны сдать четыре экзамена. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в университете запрещается сдавать два экзамена в один день?

Раздел Случайное событие. Вероятностное пространство. Классическое определение вероятности Описание случайного эксперимента, то есть такого эксперимента, исход которого нельзя предсказать заранее, начинается с описания всех возможных исходов эксперимента. Эксперимент может закончиться лишь одним из возможных исходов, которые называют элементарными исходами или элементарными событиями. Множество всех возможных исходов случайного эксперимента именуют пространством элементарных исходов .

Традиционно изучение теории вероятностей начинают с так называемых дискретных пространств элементарных исходов, число исходов в которых конечно или счётно. Элементарный исход эксперимента принято обозначать греческой буквой или i (индексом указывая номер исхода). Все пространство элементарных исходов обозначают заглавной буквой .

Пример (Д ). Рассмотрим случайный эксперимент, в котором игральную кость подбрасывают дважды. В качестве одного из возможных исходов этого эксперимента может выступать элементарное событие = (4; 3), где 4 –– число очков, выпавшее при первом броске, а –– при втором. Всё пространство элементарных исходов подобного эксперимента согласно правилу умножения будет состоять из 6 · 6 = 36 элементарных исходов .

Пример (П ). Из пяти студентов (Алексея, Олега, Ивана, Петра, Бориса) наугад выбирают двух. При этом порядок выбора не важен. Элементарными исходами в таком эксперименте будут различные пары; например, (Олег, Иван), (Борис, Алексей), (Олег, Петр) и т. д. Всего таких пар, согласно правилу сочетаний, можно составить 3! · 4 · 5 5·4 5! 5!

C5 = = 10 .

= = = 2! · (5 2)! 2! · 3! 2 · 3! 2 Для описания случайного эксперимента с дискретным пространством исходов надо не только указать множество его возможных исхоМагазин «Математическая книга»

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга» в Москве по адресу: Б. Власьевский пер., д. ; тел. ( ) --;

biblio.mccme.ru Книга –– почтой: http://biblio.mccme.ru/shop/order Книги в электронном виде: http://www.litres.ru/mcnmo/ Мы сотрудничаем с интернет-магазинами

• Книготорговая компания «Абрис»; тел. ( ) - -,( ) - - ;

www.umlit.ru, www.textbook.ru, абрис.рф

• Интернет-магазин «Книга.ру»; тел. ( ) - - ; www.kniga.ru Наши партнеры в Москве и Подмосковье

• Московский Дом Книги и его филиалы (работает интернет-магазин);

тел. ( ) - - ; www.mdk-arbat.ru

• Магазин «Молодая Гвардия» (работает интернет-магазин): ул. Б. Полянка, д. ;

тел. ( ) - -,( ) - - ; www.bookmg.ru

• Магазин «Библио-Глобус» (работает интернет-магазин): ул. Мясницкая, д. /, стр. ; тел. ( ) - - ; www.biblio-globus.ru

• Спорткомплекс «Олимпийский», -й этаж, точка ; тел. ( ) -Сеть киосков «Аргумент» в МГУ; тел. ( ) - -,( ) - - ; www.arg.ru

• Сеть магазинов «Мир школьника» (работает интернет-магазин); тел. ( ) -www.uchebnik.com

• Сеть магазинов «Шаг к пятерке»; тел. ( ) - -,( ) --;

www.shkolkniga.ru

• Издательская группа URSS, Нахимовский проспект, д., Выставочный зал «Науку –– Всем», тел. ( ) - -, www.urss.ru

• Книжный магазин издательского дома «Интеллект» в г. Долгопрудный: МФТИ (новый корпус); тел. ( ) -Наши партнеры в Санкт-Петербурге

• Санкт-Петербургский Дом книги: Невский пр-т, д. ; тел. ( ) -Магазин «Мир науки и медицины»: Литейный пр-т, д. ; тел. ( ) -Магазин «Новая техническая книга»: Измайловский пр-т, д. ;

тел. ( ) -Информационно-книготорговый центр «Академическая литература»:

Васильевский остров, Менделеевская линия, д .

• Киоск в здании физического факультета СПбГУ в Петергофе;

тел. ( ) - -,( ) - -,( ) -Издательство «Петроглиф»: Фарфоровская,, к. ; тел. ( ) --, () - - ; k_i_@bk.ru, k_i_@petroglyph.ru

• Сеть магазинов «Учебная литература»; тел. ( ) --, тел. ( ) - -, тел. ( ) - - (доб. ) Наши партнеры в Челябинске

• Магазин «Библио-Глобус», ул. Молдавская, д., www.biblio-globus.ru Наши партнеры в Украине

• Александр Елисаветский. Рассылка книг наложенным платежом по Украине: тел.

Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Тихоокеанский государственный университет" УТВЕРЖДАЮ Председатель НМС _Сорокин Н.Ю. 2017 г. Юридическая психология рабочая программа дисциплины Закреплена за кафедрой Уголовно-правовы...»

«Способность Может быть головой или туловищем Людовище Способность Может быть любой Правила игры частью тела Констрикт 2–5 игроков от 10 лет 20 минут Ход игры В начале партии перетасуйте колоду Ночных страхов и раздайте по 5 карт из неё каждому участнику. Игроки держат свои карты на руках, не показывая их соперникам....»

«Управление Верховного Комиссара Организации Объединенных Наций по правам человека ПРАВА НЕГРАЖДАН Организация Объединенных Наций Управление Верховного комиссара Организации Объединенных Наций по правам человека ПРАВА НЕГРАЖДАН Организация Объединенных Наций Нью-Йорк и Женева, 2006 год Услов...»

«Голобородкина Елена Вячеславовна СОВЕРШЕНИЕ ОСПОРИМОЙ СДЕЛКИ КАК ГРАЖДАНСКОЕ ПРАВОНАРУШЕНИЕ 12.00.03 – гражданское право, предпринимательское право, семейное право, международное частное право Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук...»

«Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО "Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова" Научная библиотека Острикова Татьяна Александровна Биобиблиографический справочник Абакан, 2010 УДК 016:929 ББК 91.9:81 О76 Печатается по рекомендации Методического совета и по решению Редакционно-издательско...»

«МИНИСТЕРСТВО ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА ЖУКИ-КСИЛОФАГИ – ВРЕДИТЕЛИ ДРЕВЕСНЫХ РАСТЕНИЙ РОССИИ Справочник Том II БОЛЕЗНИ И ВРЕДИТЕЛИ В ЛЕСАХ РОССИИ Москва УДК 595.76 Никитский Н.Б., Ижевский С.С. Жук...»

«1 Протокол № ЗКЭФ-ДМ-76 Заседания Единой комиссии Заказчика (АО "КСК") г. Москва 31 июля 2018 г. Заказчик: Акционерное общество "Курорты Северного Кавказа" 1 . (далее АО "КСК", ИНН 2632100740).На заседании Единой комиссии присутствовали: 2. Батраев...»

«Методические рекомендации для дошкольных образовательных организаций по составлению основной образовательной программы дошкольного образования на основе ФГОС дошкольного образования и примерной ООП ДО № Содержание Стр. Методологические и нормативно-правовые основы разработки 1....»

«Православие и современность. Электронная библиотека Епископ Александр (Милеант) Ложные чудеса © Holy Trinity Orthodox Mission, 1996. Содержание Протоиерей Лев Лебедев . Я лечусь у чародея Георгий Шевку...»








 
2018 www.new.pdfm.ru - «Бесплатная электронная библиотека - собрание документов»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.